<!DOCTYPE html>
<html>
  <head>
    <title>Numεrωmikωn</title>
    <link rel="stylesheet" href="../stock.css">
    <link rel="icon" type="image/x-icon" href="../favicon.ico">
    <meta content="text/html;charset=utf-8" http-equiv="Content-Type"/>
    <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1" />
  </head>

  <body>
    <div class ="nav">
      <a href="../index">Indεχ</a>
      <a href="../clanky">Článκy</a>
      <a class="active" href="../googologie">Gωωgωlωgiε</a>
      <a href="../o_mne">Ω mně</a>
    </div>

    <div class="content-googology">
      <h1>Grahamovo číslo ~ <i>f<sub>ω + 1</sub>(64)</i></h1>

      <p>Jsme připraveni na první užitečné velké číslo z googologie, ale pochopit je nebude lehké!</p>

      <p>Vraťme se dočasně ke Knuthovu šipkovému zápisu. Pamatujeme si výsledek <i>3 ↑↑↑ 3</i>, tedy <i>3<sup>3<sup>3<sup>3<sup>3 (...)</sup></sup></sup></sup></i>, 
      mocninnou věž s 7625597484987 trojkami. Musíme přidat jednu šipku navíc, abychom se dostali k základu Grahamova čísla.</p>

      <div class="math"> 
      <p>3 ↑↑↑↑ 3 = 3 ↑↑↑ (3 ↑↑↑ 3)</p>
      </div>

      <p>------</p>

      <p>Trochu jsme si zjednodušili zápis. Obecně pro Knuthův šipkový zápis platí:</p>

      <div class="math"> 
      <p>a ↑<sup>x</sup> b = a ↑<sup>x - 1</sup>(a ↑<sup>x - 1</sup>( ... ( a ↑<sup>x - 1</sup> a)) ... )</p>
      </div>

      <p>Kde se a objeví přesně bkrát.</p>

      <p>------</p>

      <p>Zkus si to ověřit, připadá-li ti to podezřelé. Podívejme se důkladně, co <i>3 ↑↑↑ 3</i> dělá:</p>

      <div class="math"> 
      <p>3 ↑↑↑ 3 = 3 ↑↑ (3 ↑↑ 3)</p>
      </div>

      <p>Vidíme, že opakuje známou tetraci. Zkusme si rozepsat <i>3 ↑↑↑ (3 ↑↑↑ 3):</i>

      <div class="math"> 
      <p> 3 ↑↑ (3 ↑↑ (3 ↑↑ (3 ↑↑ (3 ↑↑ ( ... (3 ↑↑ 3))... )</p>
      </div>

      <p>Kde bude <i>3 ↑↑↑ 3</i> trojek!</p>

      <p>------</p>

      <p>Kdybychom to přepsali na mocninné věže, výsledný netvor by vypadal takto:</p>

      <div class="math"> 
      <p>3<sup>3<sup>3 (...)</sup></sup>|3<sup>3<sup>3 (...)</sup></sup>| ... | 3<sup>3<sup>3</sup></sup></p>
      </div>

      <p>Kde se vyskytuje <i>3<sup>3<sup>3<sup>3 (...)</sup></sup></sup></i>| <i>3<sup>3<sup>3</sup></sup></i> mocninných věží! Přidali jsme jednu šipku navíc a
      potřebujeme mocninné věže, abychom popsali, kolik mocninných věží číslo obsahuje!</p>

      <p>------</p>

      <p>Toto monstrum, tedy <i>3 ↑↑↑↑ 3</i>, označíme <i>g<sub>1</sub></i>. Teď se drž:</p>

      <div class="math">
      <p>g<sub>1</sub> = 3 ↑↑↑↑ 3</p>
      <p>g<sub>2</sub> = 3 ↑<sup>g<sub>1</sub></sup> 3</p>
      </div>

      <p>------</p>

      <p>Výsledek z <i>3 ↑↑↑↑ 3</i> jsme využili jako počet šipek! A přece víme, jak nepředstavitelně dokáže jen jedna šipka změnit výsledek! Ale to ani zdaleka
      není všechno. Zobecníme:</p>

      <div class="math">
      <p>g<sub>1</sub> = 3 ↑↑↑↑ 3</p>
      <p>g<sub>n</sub> = 3 ↑<sup>g - 1</sup> 3</p>
      </div>

      <p>------</p>

      <p>Asi už máš představu, kam toto bude směřovat. Budeme postup opakovat víckrát, v tomto případě 64krát! Výsledek ze zdánlivě nekonečného 
      <i>g<sub>2</sub></i> bude určovat počet šipek mezi trojkami. <i>g<sub>64</sub></i> je Grahamovo číslo. Co nás překvapí ze všeho nejvíc je, že toto
      číslo našlo využití v kombinatorickém úloze!</p>

      <p>Co si počne naše rychle rostoucí hierarchie? Má šanci čelit takovému Goliáši?

      <div class="math"> 
      <p>f<sub>ω + 1</sub>(64) ~ g<sub>64</sub></p>
      </div>

      <p>------</p>

      <p>Stačilo pouze posunout index rychle rostoucí hierarchie o pouhou jedničku, abychom vyskočili z hyperexponentů až po Grahamovo číslo. Jsme sotva na úplném
      počátku nekonečných ordinálů! Vrátíme se k rychle rostoucí hierarchii a zjistíme, jak je možné, že roste tak rychle.</p>
    </div>

    <footer>
      <p class="footer"><a class="silent" href="https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/" target="_blank">Kristian Tichota (CC-BY-4.0)</a></p>
    </footer>
  </body>
</html>
